En todas y cada una de las actividades de esta unidad se propone algo análogo: reproducir algunos poliedros sencillos a mayor escala duplicando o triplicando las longitudes de todas y cada una de sus aristas. Aparte de lo interesante del proceso de composición y descomposición de los poliedros, es importantísimo analizar, en cada caso, cómo varía el área total del poliedro y cómo varía su volumen.

Como podrás comprobar, no necesitarás fórmulas para calcular ningún área ni ningún volumen. Se trata sencillamente de comparar el poliedro compuesto con los poliedros que lo componen. Siempre vamos a obtener razones (cocientes) enteras para las longitudes, áreas y volúmenes...

Al final de estas actividades se expresará un hecho de mucha importancia en el espacio tridimensional...

El cubo más pequeño que aparece en la figura siguiente lo tomaremos como unidad de volumen. De esta manera se podrá expresar el volumen de los cubos policúbicos(formados con cubitos unidad) mayores. ¿Cuál es el volumen de cada uno de los cubos policúbicos?

Análogamente, tomaremos como unidad de área la superficie de una cara cuadrada del cubo unidad.

¿Cuál es el área exterior de cada uno de los cubos policúbicos?

Como unidad de longitud tomaremos la longitud de la arista del cubo unidad. ¿Cuál es la arista de cada uno de los cubos policúbicos?

¿Qué ocurre con el área total externa y con el volumen de un cubo cuando hacemos sus arista el doble de larga?

¿Y cuando triplicamos la arista?

Aquí tienes dos escenas diferentes relacionadas con la duplicación y triplicación de una pirámide 1/3 de cubo (un cubo está formado por tres de estas pirámides). Utilizamos, para ello, diferentes piezas: cubos unidad, mitades de cubo unidad (semicubos) y tercios de cubo unidad (pirámides 1/3). En realidad, con los dos últimos tipos de piezas, en número suficiente, se podrían formar pirámides 1/3 de cubo a escalas diferentes ya que como se ha dicho anteriormente cada cubo podría cambiarse por tres pirámides...

Investiga la capacidad de movimiento de cada una de las escenas. Compón y descompón los poliedros mayores.

Compara las áreas exteriores de las pirámides de orden 1 y orden 2 (doble longitud de cada arista. La razón de semejanza, o de escala lineal, entre ambas es k=2). ¿Y con respecto al volumen qué ocurre?

Una pista: cuando formamos la pirámide a doble escal (doble arista) cada cara está formada por cuatro caras iguales de la pirámide pequeña. En cuanto al volumen, 1 cubo = 3 pirámides y 1/2 cubo = 3/2 pirámides...

Decubre las relaciones entre las longitudes, las áreas totales y los volúmenes de las pirámides de orden 1 y orden 3 (triple arista que la de orden 1. La razón de semejanza, o de escala lineal, entre ambas es k=3).

Llamamos k a la razón de las longitudes de las aristas. Llamamos l a la razón de las áreas totales y m a la razón de los volúmenes. Comprueba que l=k² y m=k³.

Formación de la mitad de un cubo (semicubo) de orden 2. El sólido resultante será la mitad de un cubo 2x2x2 (el que tiene 2 cubos a lo largo por 2 a lo ancho y por 2 a lo alto).

Compara un semicubo pequeño con el formado por la unión de los ocho semicubos que se dan. ¿Cómo son las aristas del semicubo mayor en relación con las de un semicubo pequeño? ¿Cómo es el área del semicubo compuesto en relacióm con el área exterior de uno de los semicubos pequeños?

Compara sus volúmenes. ¿Has observado alguna regularidad, algo que parezca cumplirse siempre o casi siempre?

  Todo el razonamiento realizado en la escena anterior puede ser aplicado, por analogía, aquí.

¿Cuántas veces es mayor la arista del prisma compuesto resultante que la de un prisma unitario cualquiera?

¿Cuántas veces es mayor el área del prisma resultante que la de un prisma unitario?

¿Cuántas veces es mayor el volumen del prisma resultante que el de un prisma unitario?

• " La razón entre las áreas de dos superficies semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza"
• "La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza"

(También se puede hablar de "razón de semejanza lineal" (k), "razón de semejanza cuadrada" (k²) y "razón de semejanza cúbica"(k³)).