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PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. EL TEOREMA DE THALES. | HOMOTECIA Y SEMEJANZA |
| CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS | SEMEJANZA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL |
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA Y SEMEJANZA.
DESCUBRIENDO LAS CLAVES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS.
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PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. EL TEOREMA DE THALES. | HOMOTECIA Y SEMEJANZA |
| CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS | SEMEJANZA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL |
Forma cuadrados de diferentes tamaños uniendo cuadraditos iguales. ¿Se puede formar un cuadrado con 5 cuadraditos? ¿Y con 16? ¿Y con 30? ¿Será posible formar un cuadrado con 100 cuadraditos iguales? ¿Con qué números de cuadraditos iguales se pueden formar cuadrados mayores? Si un cuadrado tiene un lado de longitud doble que otro, ¿qué relación existirá entre el número de cuadraditos que forman cada uno de los dos cuadrados mayores? |
Forma triángulos de diferentes tamaños uniendo triangulitos iguales. ¿Se parecen, en la forma, los triángulos mayores obtenidos a los triangulitos ? ¿Se puede formar un triángulo con 8 triangulitos? ¿Y con 9? ¿Y con 10? ¿y con 16? ¿Con qué números de triangulitos pueden formarse triángulos mayores? Si un triángulo lo has formado con 3 "filas" de triangulitos, ¿cuántos triangulitos tendrá, en total? ¿Cuántos triangulitos hay en cada una de las filas? Si pudieras formar un triángulo con 10 filas de triangulitos, ¿Cuántos habría en la décima fila? |
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Forma paralelogramos de diferentes tamaños uniendo paralelogramos unitarios (los más pequeños, que se toman como unidad). ¿Se puede formar un paralelogramo "SEMEJANTE" ( de la misma forma) a un paralelogramo unitario con 2 de ellos? ¿Y con 4? ¿Y con 9? ¿Y con 16? ¿Y con 100? |
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Al igual que el cuadrado sirve para formar cuadrados de mayor tamaño (todos ellos semejantes entre sí), en el espacio tridimensional los cubos sirven para formar cubos semejantes a diferentes escalas... |
¿Cuántos cubos unidad (los más pequeños de la figura de arriba) forman un cubo 2x2x2, es decir, con 2 cubitos a lo largo, 2 a lo ancho y 2 a lo alto? ¿Cuántos cubos unidad se necesitan para formar un cubo 3x3x3? ¿Y para formar un cubo 4x4x4? ¿Qué serie de números corresponde al número de cubos unidad con que se pueden formar cubos mayores? ¿Cuál es la serie de los números llamados CUBOS PERFECTOS? |
¿Crees que todas las "pajaritas" que puedes formar en la escena de la derecha son semejantes entre sí? ¿Por qué? ¿Qué tienen en común? ¿Qué las hace diferentes? ¿Serían semejantes entre sí las pajaritas obtenidas ampliando o reduciendo, con una fotocopiadora, una cualquiera de ellas? (Puedes variar el tamaño y la orientación de las pajaritas y las cuadrículas sobre las que están dibujadas actuando sobre los vértices y los centros de los cuadraditos). |
En la ventana de la izquierda tienes tres pares de polígonos semejantes...Puedes trasladar y girar cada una de las piezas pequeñas actuando sobre los circulitos (controles) negros y rojos para aproximarlas a las mayores y poder compararlas adecuadamente... Dos figuras semejantes tienen la misma forma. Además se pueden hacer corresponder vértices, lados y ángulos que estén dispuestos de la misma manera en ambas figuras. se habla, entonces, de vértices, lados y ángulos homólogos o correspondientes... ¿Cómo son los ángulos homólogos en cada par de figuras semejantes? |
¿Son todos los rectángulos de la ventana de la derecha semejantes entre sí? ¿Cómo se puede comprobar? ¿Qué condición o condiciones deben cumplirse para estar seguros de que dos rectángulos cualquiera son semejantes? |
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FORMANDO UN POLÍGONO SEMEJANTE A OTRO DADO. Para realizar correctamente el ejercicio de la izquierda debes tener en cuenta que "semejante" no significa necesariamente "idéntico". Dos figuras son idénticas o congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño. |
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¿Qué sabrías decir de un proyector en relación con la semejanza de figuras? |
La ventana siguiente es un modelo matemático que simula, de manera más abstracta, un proyector. Se trata de una HOMOTECIA, con centro en el punto O, aplicada a un cuadrilátero ABCD. Puedes variar la forma del cuadrilátero ABCD. Inmediatamente varía, de la misma manera, el cuadrilátero homotético (semejante) A'B'C'D'. Investiga todo el movimiento posible en la escena... Estudia detenidamente la numerosa información de la ventana siguiente. Has de comprender un concepto de enorme importancia : la razón de semejanza lineal o razón de la homotecia (k) entre dos figuras semejantes. El valor de k nos indica cómo es cada línea del cuadrilátero homotético comparada con la línea homóloga en el cuadrilátero ABCD: doble, triple, mitad, una vez y media mayor, etc...
¿Dónde hay que colocar el punto A' para que k valaga 0,5? ¿Qué se puede decir de los dos cuadriláteros cuando k=1? ¿Y cuando k=2? ¿Cómo son los perímetros de los cuadriláteros cuando k=1? ¿Y cuando k=2? Cuando el cuadrilátero A'B'C'D' tiene sus lados de doble longitud que los del cuadrilátero ABCD, ¿qué se puede decir de sus áreas? |
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