LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO.

Los puntos medios de los lados de un triángulo cualquiera tienen una propiedad importante: si los unimos entre sí el triángulo obtenido es semejante al triángulo de partida (aunque girado 180º respecto a éste) y es uno de los cuatro triángulos idénticos entre sí y semejantes al de partida en que éste queda dividido.

¿Cuál es el área de cada uno de estos triángulos respecto al de partida? ¿Qué se puede decir del perímetro de ambos triángulos?

¿Cómo son los lados del "triángulo 1/4" en relación con los lados del triángulo de partida? ¿Y los ángulos?

El proceso de trazar el triángulo que tiene por vértices los puntos medios de los lados de un triángulo se podría repetir indefinidamente y quedar, así, el triángulo de partida fraccionado en un número cada vez mayor de triángulos idénticos (1, 4, 9, ...). ¿Sabes de qué serie de números se trata?

El proceso aludido anteriormente generaría una malla triangular como la que se muestra en esta escena...

Puedes variar la forma de los triángulos y comprobar que todo triángulo genera una partición regular (un embaldosado con todas las baldosas iguales) de la superficie del plano, es decir, todo triángulo embaldosa...

El segmento que une el punto medio del lado de un triángulo con el vértice opuesto a ese lado recibe el nombre de mediana.

Las tres medianas de un triángulo cualquiera concurren (se encuentran) en un punto llamado baricentro.

En la escena de la izquierda el baricentro (G) divide a la mediana AB en dos segmentos: AG y GB. ¿Qué relacionas guardan entre sí AB, AG y GB?

¿Cómo es el triángulo cuando las medianas tienen la misma longitud?

Las tres alturas de un triángulo concurren en un punto llamado ortocentro.

¿Cómo es el triángulo cuando el ortocentro coincide con uno de sus vértices?

¿Y cuando el ortocentro queda fuera del triángulo?

¿En qué clase de triángulos dos de sus lados coinciden con dos de sus alturas?

A medida que hacemos mayor un ángulo cualquiera del triángulo, ¿qué ocurre con el ortocentro?

Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que es el centro de su circunferencia circunscrita que recibe el nombre de circuncentro.

¿Crees que por tres puntos cualquiera del plano que no estén alineados podrá pasar una misma circunferencia? ¿Qué harías para trazar esa circunferencia si te dan los tres puntos?

¿Sabrías definir lo que es la mediatriz de un lado del triángulo?

¿Cómo es el triángulo cuando el circuncentro es el punto medio de un lado del triángulo? ¿Y cuando el circuncentro está fuera del triángulo?

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren en un punto, llamado incentro, que es el centro de su circunferencia inscrita.

¿Existe algún triángulo cuyo incentro quede fuera de él?