En esta escena se muestran los ocho primeros polígonos regulares convexos (atendiendo al número creciente de lados). Los polígonos regulares tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores y centrales iguales.

¿Cuántos polígonos regulares crees que existen? ¿Por qué?

¿Qué "aspecto" tendrá un polígono regular con un elevadísimo número de lados?

Todo polígono regular se puede inscribir en un círculo. En este caso, los vértices del polígono son puntos de la circunferencia.

En todo polígono regular se puede inscribir un círculo. En este caso, los puntos medios de los lados del polígono son puntos de la circunferencia.

El centro de los círculos inscrito y circunscrito es el centro del polígono.

En esta escena se muestran los círculos circunscrito e inscrito de un pentágono que puedes variar de tamaño.

¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos centrales de un polígono regular?

¿Cuál es el valor de cada uno de los ángulos centrales marcados?

¿Cuál es el valor de cada uno de los ángulos marcados?

Razona y comprueba que los datos relativos al valor de cada uno de los ángulos interiores de estos polígonos regulares son correctos.

¿Sabrías completar la siguiente tabla?

Desplaza hacia la izquierda y hacia la derecha el punto negro para obtener "estrellas" o "polígonos estrellados" a partir de los polígonos regulares convexos, por prolongación de sus lados y consideración de sucesivos puntos de corte.

Aquí se ilustra otro procedimiento, diferente al anterior, para la obtención de polígonos estrellados. Se presenta un caso concreto: el polígono {10/3} que utiliza los 10 vértices del decágono regular sobre la circunferencia circunscrita. Se han unido los vértices dejando siempre dos sin unir siguiendo la secuencia 1--- 4 --- 7--- 10=1 --- 4 --- 7 --- 10 = 1.

¿Sabrías explicarlo?
Para visualizar paso a paso el procedimiento, desplaza el círculo de la barra de herramientas de la ventana interactiva.

Las estrellas de los polígonos regulares son, también, polígonos regulares. En la escena se muestra la amplitud del ángulo central del polígono regular codificado como {10/3}.

Las estrellas se simbolizan con la notación {p/q}, donde p indica el número de vérticesdel polígono y q, que es la "densidad" del polígono, indica de cuántos en cuántos se cuenta para ordenar los vértices de la estrella correspondiente. Cuando q=1 (se cuenta de uno en uno) se tiene el polígono regular de p lados. Y para que la forma resultante sea sea un polígono regular, q tiene que ser un entero positivo primo con respecto a p, y menor que la mitad de p. En otras palabras, la fracción p/q tiene que ser irreducible.

Como puedes comprobar, aquí se ilustra otro procedimiento, más dinámico, para la obtención de todos los polígonos regulares (convexos y estrellas) de un determinado número de lados.

Da la impresión de que son las manecillas del reloj las que dibujan o forman los polígonos siguiende un orden muy preciso... Aquí no se prolongan los lados, ni se unen vértices saltándose algunos de ellos...

Simulación de la obtención de todos los polígonos regulares con un número de lados menor o igual a 12 por el procedimiento anterior.

Comprueba que se pueden obtener los siguientes polígonos regulares:

{11/5}, {9/4}, {7/3}, {12/5}, {5/2}, {8/3}, {11/4}, {3}, {10/3}, {7/2}, {11/3}, {4}, {9/2}, {5}, {11/2}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}.

El polígono {10/4}, por ejemplo, no es un polígono estrellado ya que equivale a juntar 2 polígonos {5/2}. La estrella {10/2} nom es un polígono sino dos: está formadoa por dos pentágonos que se intersectan.El polígono {8/2} no es un polígono estrellado ya que se trata de dos cuadrados superpuestos sin que coincidan los vértices.