Todas las figuras planas que aparecen en esta escena más todas las que puedes formar variando los circulitos son POLÍGONOS. Todos ellos encierran una porción del plano, es decir tienen un interior. El interior está separado del exterior por los lados, que son segmentos rectilíneos. Dos lados consecutivos se encuentran o concurren en un punto llamado vértice (cuando dos lados no consecutivos se cruzan, el punto donde se tocan no es un vértice). Por cada vértice hay un ángulo interior del polígono.

Otra forma de expresar la idea de polígono: un polígono está formado por vértices y lados que juntan los vértices. Los vértices y los segmentos que los unen están ordenados, y hasta que no se unen el primer vértice y el último, mediante el último segmento, no se cierra la superficie.

Puedes comprobar que en todo polígono coinciden el número de lados, el de vértices y el de ángulos interiores (vamos a denominar a este número como n)

Aprende los nombres que se dan a los polígonos según el valor de n

Los polígonos pueden ser convexos o cóncavos. Se pueden explicar estos atrubutos o cualidades de diferentes formas:

Un polígono es convexo cuando la recta que une dos vértices consecutivos cualquiera del mismo no pasa por el interior del mismo.

Un polígono es convexo cuando el segmento que une dos puntos cualquiera de su interior está, también, en el interior del polígono.

Un polígono es cóncavo cuando la recta que une dos vértices consecutivos del mismo divide a éste en dos trozos, es decir, pasa por su interior.

Un polígono es cóncavo cuando podemos encontrar dos puntos interiores tales que el segmento que los une pase por el exterior del polígono.

* ¿Cómo puedes utilizar los elementos de la escena para comprobar la concavidad o convexidad de cada uno de los polígonos?

* ¿Sabrías dar una definición de convexidad y concavidad fijándote sólo en las diagonales del polígono?

Las diagonales de un polígono son los segmentos que unen vértices no consecutivos.

Cuando se analiza el número de diagonales (N) que tiene un polígono de n lados se observa una regularidad, algo que siempre se cumple. Así, por ejemplo, un pentágono cualquiera siempre tendrá 5 diagonales, un exágono siempre tendrá 9, etc...

Por ello, se puede llegar a expresar esta ley o regularidad numérico-geométrica mediante una fórmula.

Aplicando la fórmula, ¿cuántas diagonales corresponderían a un polígono de 12 lados ? ¿ Y a uno de 20 lados?

En un polígono de 5 lados, ¿cuántas diagonales concurren en cada vértice? ¿Y en uno de 6 lados ? ¿ Y en uno de 10 lados? ¿Y en uno de n lados?

¿Obtenemos el número total de diagonales del polígono multiplicando número de vértices x número de diagonales que concurren en cada vértice? ¿Por qué?

Aunque son los menos numerosos en el infinito mundo de los polígonos, tienen especial importancia los polígonos regulares. Estos tienen todos su lados iguales entre sí. También tienen iguales entre sí sus ángulos interiores.

Si un polígono no es regular se dice que es irregular.

¿Cuántos polígonos regulares crees que existen? ¿Por qué?

¿Qué "aspecto" tendrá un polígono regular con un elevadísimo número de lados?

(Por su importancia, los polígonos regulares se tratan en una unidad aparte)

Se define el perímetro (P) de un polígono como la suma de las longitudes de todos sus lados.

Es un concepto sencillo. Para averiguar el perímetro de un polígono se mide cada uno de sus lados, se expresan estas medidas en la misma unidad de longitud y se suman.

En esta escena tienes cuatro triángulos rectángulos isósceles (escuadras) idénticos. No se da la longitud de sus lados de manera numérica sino codificada con letras. Cada letra diferente representa un número diferente. Observa que aparecen lados de dos longitudes diferentes: a y b.

Si formas un cuadrado uniendo dos escuadras por el lado b, la expresión del perímetro del cuadrado será: P = 4a (4 veces la longitud del lado a).

Forma diferentes polígonos combinando escuadras unidas por sus lados iguales. Expresa, de manera codificada, su perímetro...

¿Sabrías obtener todos los polígonos de perímetro P = 4a + 2b ?

Forma diferentes polígonos uniendo varias piezas de este tangram chino. Halla el valor de cada uno de los ángulos interiores.

(Cada pieza del tangram puede ser trasladada y girada)

Halla el valor de la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos (se dan los vértices de los polígonos):

(En la escena de la derecha puedes formar los polígonos que se indican componiendo varias piezas del tangram)

cuadriláteros: OPNL, CHID, OLDF; pentágonos: NJKHI, KLDCH.

exágonos:BCHKJG, CHILME; heptágonos: BCHILJG, POLIHKJ.

¿Qué observas?

En las escenas de arriba puedes formar un gran número de polígonos diferentes uniendo, por sus lados iguales, cuadrados (CU), triángulos equiláteros (TE) y escuadras (ES). Se han elegido estas figuras básicas por los valores tan sencillos de sus ángulos interiores: 90º en CU, 60º en TE y 90º y 45º en ES.

Al unir o combinar estos polígonos básicos (no necesariamente todos) para formar otros polígonos diferentes también combinas los ángulos básicos obteniendo ángulos interiores de otros valores.

Lo que se te propone es que formes diferentes cuadriláteros, diferentes pentágonos, exágonos, etc... y, para cada número diferente de lados, halles el valor de la suma (S) de los ángulos interiores y trates de descubrir una importante regularidad o ley que se cumple relacionada con este valor...

¿Sabrías completar la tabla siguiente?