El conjunto de todos los cuadriláteros (polígonos con cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos) suele clasificarse de la siguiente manera (atendiendo al paralelismo y a la longitud de sus lados):

1.-)Trapezoides: los que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos.

2.-) Trapecios: tienen un par de lados opuestos paralelos.

3.-) Paralelogramos: tienen los dos pares de lados opuestos paralelos. Dentro de los paralelogramos se pueden establecer los siguientes subconjuntos o subclases:

*Rectángulos: tienen cuatro ángulos rectos. Se puede decir, también, que son cuadriláteros equiángulos.

* Rombos: tienen los cuatro lados iguales. Son cuadriláteros equiláteros.

* Cuadrados: son rectángulos y rombos a la vez, es decir, son cuadriláteros equiángulos y equiláteros.

A lo largo de esta unidad se profundizará en la comprensión de esta clasificación y se verá que no es la única manera de expresarla ni la única existente cuando se atienden a otros criterios como tener iguales las diagonales, tener diagonales perpendiculares, tener iguales cada par de lados concurrentes en un vértice (deltoides),...

En esta escena se presentan modelos dinámicos de cuadriláteros en los que se pueden descubrir las relaciones existentes entre las diferentes variables que se pueden utilizar como criterios para la clasificación de los cuadriláteros: paralelismo, igualdad de lados, igualdad de diagonales, perpendicularidad de diagonales, diagonales que se cortan o no en los puntos medios de las mismas, igualdad de ángulos, etc...

Manipula adecuadamente cada modelo comprobando que hay situaciones, o condiciones, de un determinado modelo que son equivalentes a otras posiciones de otros modelos. Así, por ejemplo, podemos comprobar que hay deltoides que son cuadrados; o que hay paralelogramos que son rombos; o que si un trapecio es tal que coinciden los puntos medios de sus lados entonces el cuadrilátero no sólo cumple la condición de trapecio sino la de paralelogramo, y se dice que es un paralelogramo...(todos los paralelogramos cumplen la condición de ser trapecios pero no todos los trapecios cumple la condición de ser paralelogramos).

En esta escena se te propone que obtengas todos los paralelogramos y todos los trapecios diferentes que pueden obtenerse ensamblando o componiendo, lado con lado, un máximo de cuatro triángulos iguales.

(Se pueden formar tres paralelogramos diferentes y tres trapecios diferentes).

Teniendo en cuenta que el triángulo tiene lados de longitudes a, b y c, comprueba que a cada paralelogramo diferente, o a cada trapecio diferente, le corresponde, en este caso, un perímetro diferente. Las expresiones algebraicas o codificadas de los perímetros de los tres paralelogramos son : 2a+2b, 2a+2c, 2b+2c. Análogamente, se obtienen trapecios de perímetros a+b+3c, 3a+b+c y a+3b+c.

Si analizas estas expresiones algebraicas y las relacionas con los colores diferentes dados a los lados de los triángulos de la escena, verás que las expresiones adquieren un significado muy fácil de comprender...Así, por ejemplo, la expresión 2a + 2b, en la que aparece dos veces la longitud a y dos veces la longitud b y 0 veces la longitud c, nos indica que se trata de un paralelogramo obtenido juntando dos triángulos por sus lados iguales de longitud c ( por eso "desaparecen" ya que no forman parte del perímetro...)

(Puedes mover los vértices A, B, C y D sobre los lados de un cuadrado para formar diferente cuadriláteros).

¿Puedes formar trapecios? ¿Cómo puedes estar seguro de que tienen un par de lados paralelos?

¿Puedes formar paralelogramos?¿Crees que si los lados opuestos son paralelos e iguales dos a dos también serán iguales dos a dos los ángulos opuestos?

¿Puedes formar rectángulos? ¿Cómo te puedes ayudar de la cuadrícula para formar ángulos rectos?

¿Puedes formar cuadrados?¿Qué condición de la figura es suficiente para poder afirmar con seguridad que se trata de un cuadrado?

Fíjate ahora en el área. ¿Sería capaz de formar un cuadrilátero tal que si movemos uno o dos vértices opuestos no varíe el área de la figura?

Todos los cuadriláteros que se pueden formar con este modelo dinámico (derecha) y con el de la escena siguiente (abajo) tendrán sus diagonales perpendiculares entre sí aunque éstas no lleguen a tocarse (caso particular de los deltoides cóncavos o dardos).

Forma cuadriláteros con sus dos diagonales (AC y BD) iguales y tales que O sea el punto medio de cada diagonal. ¿Qué tipo de cuadriláteros cumplen estas condiciones?

Forma cuadriláteros con diagonales no necesariamente iguales y tales que su punto medio sea O? ¿Qué tipo de cuadriláteros cumplen esta condición?

¿Sabrías expresar condiciones referidas a los lados y a las diagonales del cuadrilátero que determinen cuadriláteros de cada uno de las diferentes clases ( trapezoides, trapecios, paralelogramos, rombos, rectángulos, deltoides, cuadrados)?

Forma cuadriláteros que cumplan la condición OD = OB. Obtendrás deltoides ( ver escenas siguientes) que pueden ser convexos (las dos diagonales están en el interior del cuadrilátero) o cóncavos (una diagonal está en el exterior del cuadrilátero).

¿La condición OA = OC da, también, lugar a deltoides?

¿Qué tipo de cuadriláteros cumplen las condiciones OA = OC y OD = OB?

¿Qué tipo de cuadriláteros cumplen las condiciones OA = OC = OB ?

¿Y OA = OB =OC = OD?

¿Te atreves a dar definiciones de las diferentes clases de cuadriláteros que aun siendo equivalentes a las dadas al principio de esta unidad no se parezcan apenas a ellas?

Mueve, en cada escena los dos circulitos verdes. Comprueba, en ambos casos cómo se da un "caso límite" de deltoide en el que se forma un ángulo llano (180º) y el cuadrilátero se transforma en un triángulo isósceles. Comprueba que hay otro caso límite de los deltoides cóncavos (dardos) en el que el cuadrilátero se transforma en dos pares de segmentos superpuestos.

¿Son los rectángulos deltoides? ¿Y los rombos? ¿Y los cuadrados?

¿Sabrías explicar el proceso de obtención de trapecios a partir de triángulos que se ilustra en esta escena?

¿A partir de qué tipo de triángulo se obtiene, por este procedimiento, un trapecio isósceles? ¿Y un trapecio rectángulo?

*En todo paralelogramo se verifica: a) los lados opuestos son iguales. b) los ángulos opuestos son iguales. c) las diagonales se cortan en el punto medio. d) dos lados opuestos son iguales y paralelos. e)dos ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios(suman 180º).

Además:

* Las diagonales de un rectángulo son iguales.

* Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

* Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares.

* Si las diagonales de un paralelogramo son: a) iguales, es un rectángulo. b) perpendiculares, es un rombo. c) iguales y perpendiculares, es un cuadrado.

A la vista de este esquema de clasificación de los cuadriláteros, en las que las clases más particulares están incluidas (dentro) en las clases más generales y teniendo en cuenta lo descubierto en las actividades previas...¿son todos los cuadrados rombos? ¿Son todos los rombos cuadrados?

¿Son los paralelogramos trapecios? ¿Hay trapecios cuadrados?

¿Dónde situarías, en este esquema la clase de los deltoides? ¿Sería una clase más general que la de los rombos? ¿Y más general que la de los cuadrados?