Los dos teoremas que se estudian en esta unidad ( teorema de la altura y teorema del cateto ), junto con el famoso teorema de Pitágoras, son consecuencia directa de las relaciones que se dan entre triángulos semejantes, más en concreto, entre triángulos rectángulos semejantes y se aplican sólo en este tipo especial de triángulos.

Lo que se quiere demostrar es que si h es la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, m y n son los segmentos en que esta altura divide a la hipotenusa, entonces:

h² = m x n

En el triángulo rectángulo ABC se pueden considerar los triángulos rectángulos (I y II) que tienen por hipotenusa los lados b y c, respectivamente.

h en el triángulo I y n en II son homólogos.

m en el triángulo I y h en II son homólogos.

Se puede, por tanto, establecer la siguiente proporción:

h / n = m / h.

Por consiguiente, h² = m x n

Se quiere demostrar que si b y c son los catetos y a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cualquiera, m es la proyección ortogonal de c sobre la hipotenusa, n es a proyección ortogonal de c sobre la hipotenusa, entonces: b² = a x m y

c² = a x n.

Si llamamos III al triángulo ABC, I al triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa el lado b y II al que tiene por hipotenusa el lado c, se observa que I y III son senejantes; que los lados homólogos b y m son homólogos en I de la misma forma en que a y b son homólogos en III. Se puede establecer, por tanto, la siguiente proporción:

b/a = m/b y c/a = n/c. Por lo tanto,

b² = a x m. Análogamente, c² = a x n

¿Qué relación tiene esta demostración del teorema de Pitágoras con los resultados obtenidos en el teorema del cateto?

¿Cuál es el valor de a x m + a x n ?

Evidentemente, a x m y a x n son las áreas de los rectángulos verde claro y verde oscuro. Entre ambos forman el cuadrado de área a². Se tiene, por tanto, que:

a x m + a x n = b² + c² =a²

(Esta es una demostración del teorema de Pitágoras a partir del teorema del cateto)