POLIEDROS . SÓLIDOS PLATÓNICOS .


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POLIEDROS REGULARES O SÓLIDOS PLATÓNICOS.

Sólo existen cinco poliedros diferentes que reunan la condición de que sus caras sean polígonos regulares idénticos ( por tanto las aristas serán todas de la misma longitud) y con sus ángulos poliedros ( los formados por tres o más caras que concurren en un mismo vértice) iguales : el tetraedro regular, el hexaedro regular o cubo, el octaedro regular, el dodecaedro regular y el icosaedro regular.

Estos cinco poliedros reciben el nombre de regulares ( podríamos decir que son los "más perfectos") o platónicos (adjetivo derivado del nombre de Platón, filósofo y literato de la antigua Grecia que vivió en el siglo IV antes de Cristo. Sería interesante que investigaras sobre su vida y su obra)


El más sencillo análisis que se puede hacer de los poliedros regulares es el recuento del número de caras (C), aristas (A) y vértices (V) de cada uno de ellos.

Haz en tu cuaderno una tabla de doble entrada (por un lado los nombres de los cinco poliedros, por otro las variables C, A y V) que te permita estructurar los datos obtenidos.

¿Cómo hacer el recuento correctamente?. Imaginemos que queremos contar el número de aristas del icosaedro. Todas las aristas son lados de las caras triangulares. El icosaedro tiene 20 caras triangulares. Podríamos, pues, concluir diciendo que el icosaedro tiene 20x3=60 aristas. Esto no es correcto ya que no se ha tenido en cuenta que cada arista ha sido contada dos veces, ya que pertenece a dos caras contiguas. Por lo tanto, la operación correcta sería (20x3):2 =30 aristas.

Un razonamiento análogo se hace para el número de vértices y para el número de caras...

Los datos obtenidos deben verificar la relación de Euler : C + V = A + 2


Los poliedros regulares convexos están relacionados unos con otros atendiendo a diferentes criterios. Una de las relaciones más importantes entre ellos es la de dualidad, que se da cuando cuando podemos establecer correspondencias entre los puntos, líneas rectas y planos de una figura - vértices, aristas y caras de un poliedro - y los planos, líneas rectas y puntos de otra figura (caras, aristas y vértices de otro poliedro). Consecuencia directa de esta relación es la posibilidad de inscribir unos poliedros en otros (ambos tienen que ser duales).

Lo comprenderás fácilmente con los ejemplos que siguen.


El tetraedro regular es el poliedro dual de él mismo ya que a cada cara del tetraedro se le puede hacer corresponder un vértice de otro tetraedro.

Observa que los vértices del tetraedro menor yacen sobre los baricentros de las caras del tetraedro mayor. Esta posición relativa es la que guardan dos tetraedros cuando se incrusta uno dentro del otro.

¿Coinciden en el tetraedro regular el número de caras(C) y el número de vértices (V)?


El cubo (hexaedro regular) y el octaedro son poliedros duales: el cubo es el dual del octaedro y el octaedro el dual del cubo.

Date cuenta que ello es posible porque el número de caras de un cubo es igual al número de vértices del octaedro y porque ambos tienen igual número de aristas.


El dodecaedro regular y el icosaedro regular son poliedros duales.

Explica por qué es posibles esta dualidad.



Estructuras "vacías" correspondientes a los sólidos platónicos.


Polígonos regulares estrellados.

Se obtienen al sustituir cada cara de un polígono regular por una pirámide que tiene por base esa cara y en la que todas las caras laterales son triángulos equiláteros.

¿Serán todas las aristas de un poliedro regular estrellado de igual longitud? ¿Sabrías hallar C, V y A para cada uno de ellos?

¿Crees que verificarán la relación de Euler?


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